كيفية العثور على حدود؟

هناك شيء من هذا القبيل في الرياضيات كحد أقصىوظيفة. لفهم كيفية العثور على الحدود، تذكر تعريف حد الدالة: الدالة f (x) لها الحد L عند النقطة x = a إذا كان لكل تسلسل قيم x يتقارب مع a، تسلسل القيم للمقاربات y:

L ليم f (x) = L
x → a

مفهوم وخصائص الحدود

ما هو الحد، يمكنك فهم من المثال. لنفترض أن لدينا وظيفة y = 1 / x. إذا قمنا بالتسلسل بزيادة قيمة x وننظر إلى ما هو y، نحصل على كل القيم المتناقصة: ل x = 10000 y = 1/10000؛ عند x = 1،000،000 y = 1 / 1،000،000. أي وكلما زاد عدد x، كلما قل y. إذا كانت x = ∞، y صغيرة بحيث يمكن اعتبارها مساوية ل 0. وهكذا، فإن حد الدالة y = 1 / x ل x يميل إلى ∞ هو 0. ويكتب هذا على النحو التالي:

lim1 / x = 0
x → ∞

الحد وظيفة لديها العديد من الخصائص التي تحتاج إلى أن نتذكر: وهذا سيجعل من الاسهل بكثير لحل مشاكل العثور على حدود:

الحد الأقصى للمبلغ يساوي مجموع الحدود: ليم (x + y) = ليم x + ليم y
الحد الأقصى للمنتج هو نتاج الحدود: ليم (زي) = ليم x * ليم y
الحد الأقصى للحاصل يساوي حاصل الحدود: ليم (x / y) = ليم x / ليم y
يؤخذ العامل الثابت كعلامة الحد: ليم (سك) = C ليم x

بالنسبة إلى الدالة y = 1 / x، حيث x → ∞، يكون الحد صفر، x x → 0، الحد ∞.

ليم (سين x) / x = 1 x → 0

في المقالة كيفية حل الحدود، يتم وصف منهجية لحل هذه المشاكل بالتفصيل. وسننظر في عدة أمثلة.

حل أمثلة للحدود

من الضروري دائما أن تبدأ في العثور على حدود الوظائف عن طريق استبدال في وظيفة قيمة x التي يميل.

المثال 1

ليم (x-3) = ليم (3-3) = 0
x → 3

المثال 2

ليم [x² / (1-x)]. إذا استبدلنا x = ∞، نحصل على
x → ∞
∞² / (1-∞) = ∞² / (-∞).

يتم تقليل واحد اللانهاية في البسط والمقام:

∞ / (-1) = -∞. وبالتالي،
ليم [x² / (1-x)] = -∞.
x → ∞

في هذه الأمثلة، كل شيء بسيط. ومع ذلك، عادة ما يتم البحث عن حدود الدوال لقيم x التي تخلق عدم اليقين من النوع 0/0 أو ∞ / ∞. ويتعين الكشف عن أوجه عدم اليقين هذه.

المثال 3

ليم [(2х² - 3х - 5) / (1 + х + 3х²)]
x → ∞

نحن استبدال x = ∞ والحصول على اللانهاية في البسط والمقام، هناك وهناك في الساحة. وبالتالي، فقد حصلنا على عدم التحديد من نوع ∞ / ∞.

دعونا نحاول أولا تقسيم كل من أجزاء الكسر إلى درجة أعلى - х²:

ليم {[(2х² - 3х - 5) / x²] / [(1 + х + 3х²) / x²]} =
x → ∞
= ليم {[(2h² / x²) - (3 / x²) - (5 / x²)] / [(1 / x²) + (س / x²) + (3h² / x²)]} =
x → ∞
ليم {[2 - (3 / x) - (5 / x²)] / [(1 / x²) + (1 / x) + 3]}
x → ∞
ل x = ∞، 3 / x = 0؛ 5 / х² = 0؛ 1 / x² = 0؛ 1 / x = 0.

وبالتالي، من كل الرهيبة أربعة طوابق الكسور ما زلنا: